Родился в 1886 г. в семье рабочего Кронштадтского пароходного завода. После окончания в 1911 Санкт-Петербургского Политехнического института начал работать на Адмиралтейском судостроительном заводе. Был назначен заведующим бюро Отдела подводных лодок на Балтийском заводе. Затем в течение пяти лет (1913-1918) работал на верфи «Норблесснер» в Ревеле, где в то время осуществлялся серийный выпуск подводных лодок типа «Барс».
В 1924 назначен начальником Севзапвоенпрома, а через два года — главным инженером Сестрорецкого оружейного завода. В 1928 по делу «Промпартии» был арестован и осужден. Сразу же отправлен в ОТБ при ОГПУ. В ОТБ выдвинул идею создания быстроходной эскадренной подводной лодки с мощным артиллерийским вооружением, предназначенной для ведения боевых действий совместно с надводными кораблями.
Проект был одобрен и получил название «Правда». В 1932 г. Алексей Николаевич был освобожден. После освобождения он работал главным инженером Техбюро №4, где вел работу над созданием проекта малой субмарины, способной к транспортировке по железной дороге в любой конец СССР. Проект получил наименование серия VI «Малютка». Проект оказался неудачным и Асафова вновь арестовывают как «вредителя».
Умер при невыясненных обстоятельствах в 1933 г. Реабилитирован 24 сентября 1990 года.